《高等数学B》课程介绍及修读指导建议
第一部分课程简介
一、课程基本信息
[课程类别］学科基础课（限选）
[课程代码］115160031
[总学时］64学时。其中理论64学时、实验0学时。
[学分］4学分
[适用对象］理工类专业有继续深造计划的部分学生。具体为：计算机科学与技术、电子信息科学与技术、通信工程、自动化、机械设计制造及其自动化、金属材料工程、车辆工程、工程管理、生物工程、食品科学与工程、食品质量与安全等11个本科专业。
[先修课程与后续课程］
先修课程：高等数学A
后修课程：专业课
二、课程性质与教学目的
（一）课程性质（指课程的地位、作用）
高等数学B是全校性公共数学选修课，它为满足理工类考研学生而开设。主要内容包括:极限部分的补充、导数应用中中值定理的补充、积分方法及其应用的补充、常系数微分方程的补充、多元函数微分法及其应用的补充、重积分的补充、曲线积分与曲面积分、无穷级数的补充。
（二）教学目的
通过本课程的学习，增加了曲线积分与曲面积分部分，使学生对高等数学的知识体系掌握更完备；对极限、一元函数微积分学、常微分方程、多元函数微积分学、无穷级数等方面的知识深化学习，使学生理论掌握更透彻，计算技巧更丰富。
通过本课程的学习使学生达到：
1.掌握极限的存在准则，利用无穷小的性质求极限的方法。
2.掌握微分中值定理中的柯西中值定理和泰勒中值定理。
3.掌握弧微分和曲率的计算方法，会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的不定积分。
4.掌握常系数线性微分方程的基本知识和基本运算技能。
5.理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
6.掌握曲线与曲面积分的概念和基本计算方法。
7.理解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在
上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会将定义在
上的函数展开为傅里叶级数。
三、课程基本内容
本门课程基本内容主要包括对一元函数和多元函数部分的补充。具体为海因定理的必要条件，再论极限存在准则，无穷小的比较，柯西中值定理，泰勒中值定理，函数不等式，弧微分与曲率，有理函数的不定积分，积分限函数及积分等式证明，常系数齐次线性微分方程，常系数非齐次线性微分方程，方向导数与梯度，条件极值及最值，三重积分，三重积分的应用，对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分，格林公式及其应用，对面积的曲面积分，对坐标的曲面积分，高斯公式，通量与散度，斯托克斯公式，环流量与旋度，傅里叶级数，正弦级数，余弦级数，一般周期函数的傅里叶级数。
第二部分教学总体安排及修读指导建议
一、学时分配表
章节 |
学时分配 |
讲课 |
习题课 |
实验课 |
上机课 |
讨论课 |
其他 |
合计 |
第一部分 第一节 |
2 |
0 |
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2 |
第二节 |
2 |
0 |
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2 |
第三节 |
2 |
0 |
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2 |
第四节 |
2 |
0 |
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2 |
第五节 |
2 |
0 |
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2 |
第六节 |
2 |
0 |
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2 |
第七节 |
2 |
0 |
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2 |
第八节 |
2 |
1 |
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3 |
第九节 |
2 |
1 |
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3 |
第十节 |
2 |
0 |
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2 |
第十一节 |
2 |
0 |
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2 |
第十二节 |
2 |
0 |
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2 |
第十三节 |
2 |
0 |
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2 |
第一部分 第一节 |
2 |
0 |
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2 |
第二节 |
2 |
0 |
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2 |
第三节 |
2 |
1 |
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3 |
第四节 |
2 |
0 |
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2 |
第五节 |
2 |
1 |
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3 |
第六节 |
2 |
1 |
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3 |
第七节 |
2 |
1 |
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3 |
第八节 |
2 |
1 |
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3 |
第九节 |
2 |
1 |
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3 |
第十节 |
2 |
0 |
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2 |
第十一节 |
2 |
1 |
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3 |
第十二节 |
2 |
0 |
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2 |
第十三节 |
2 |
0 |
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2 |
第十四节 |
2 |
1 |
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3 |
合计 |
54 |
10 |
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|
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64 |
二、教学重点与难点
（一）教学重点
运用极限存在准则求极限；常系数线性微分方程的基本知识和基本运算技能；三重积分的应用；对弧长的曲线积分；格林公式及应用；傅里叶级数。
（二）教学难点
海因定理；用柯西定理、泰勒中值定理证明函数不等式；积分限函数的求导；三重积分的计算；对面积的曲面积分；斯托克斯公式。
三、教学材料及修读指导建议
（一）推荐教材与参考书
推荐教材：
《高等数学》(第七版)，同济大学数学系主编，高等教育出版社，2014。
推荐教学参考书：
1.《高等数学典型应用实例与模型》，王宪杰等编著，科学出版社，2005
2．《大学数学微积分》(第二版)，萧树铁等编著，高等教育出版社，2003
3．《大学数学教程—微积分》刘建亚编著，高等教育出版社，2003
4．《高等数学》，张荫南、童裕孙等编著，高等教育出版社，2000
5．《工科数学分析基础》，孙振绮等编著，机械工业出版社，2003
（二）推荐网站（包括课程网站、专业网站等）
1.中国大学MOOC网：http://www.icourse163.org/
2.网易公开课：https://open.163.com/
（三）修读指导建议
本课程是在本科的第3学期开设，与先修课程间隔时间较长，建议学生在修读本课程前，对先修课程进行复习回顾。学习过程中结合相关网站，参考部分考研资料，进一步拓展学习，会收到较好的学习效果。
四、本课程开设需要的教学环境和设备条件
教学环境：多媒体阶梯教室。
设备条件：多媒体，大黑板。
五、考核方法及成绩评定（包括考核方式及所占比例）
1.考核方式：
理论考试（闭卷），终结考核。考核的主要内容：多元函数及级数的基础知识、多元函数极限、积分及级数部分的计算能力、对多元函数积分应用的分析能力等。
2.成绩评定
期末考试（闭卷）占总成绩的70%，平时成绩占30%，出勤占平时成绩的10%，作业占平时成绩的15%，课堂表现占平时成绩的5%。课程总成绩按百分制记分，60分为及格。
第三部分课程教学内容及教学要求
第一章一元函数部分补充（28学时）
教学目的与要求
本章是对先修课程一元函数相关教学内容的补充，要求：
1.理解海因定理的必要条件。
2.理解并会运用夹逼准则和单调有界原理求极限。
3.理解k阶无穷小的概念并会利用和差取大、和差代替、因式代替等规则求极限。
4.理解并会用柯西定理、泰勒中值定理证明函数不等式。
5.理解曲率和曲率半径的概念并掌握其计算方法。
6.会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的不定积分。
7.理解积分限函数的概念，掌握其求导方法并会其证明积分等式。
8.掌握常系数线性微分方程的基本知识和基本运算技能。
教学重点与难点
教学重点：运用极限存在准则求极限；常系数线性微分方程的基本知识和基本运算技能。
教学难点：海因定理；用柯西定理、泰勒中值定理证明函数不等式；积分限函数的求导。
教学手段及方式方法
讲授教学法：海因定理的必要条件；夹逼准则和单调有界原理；k阶无穷小的概念；曲率和曲率半径的概念；积分限函数的概念；常系数线性微分方程的基本知识。
习题讲解式：和差取大、和差代替、因式代替等极限的方法；用柯西定理、泰勒中值定理证明函数不等式；有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的不定积分。
教学手段：本门课以课堂讲授为主，课堂教学采用多媒体教学手段，并辅之以板书。
教学内容
第一节海因定理的必要条件
第二节再论极限存在准则
1.夹逼准则
2.单调有界原理
第三节无穷小的比较
1. k阶无穷小
2.和差取大规则
3.和差代替规则
4.因式代替规则
第四节柯西中值定理
1.柯西中值定理的证明
2.相关例题
第五节泰勒中值定理
1.泰勒中值定理的证明
2.相关例题
第六节函数不等式
1.微分中值定理证明不等式
2.单调性证明不等式
3.凹凸性证明不等式
4.极值证明不等式
第七节弧微分与曲率
1.弧微分
2.曲率及计算公式
3.曲率圆与曲率半径
第八节有理函数的不定积分
1.有理函数
2.三角有理函数
3.无理函数
第九节积分限函数及积分等式证明
1.积分限函数的导数
2.积分等式证明
第十节常系数齐次线性微分方程
第十一节常系数非齐次线性微分方程
辅助教学环节（习题或作业等）
习题或作业：关于利用极限存在准则求极限、无穷小的比较、函数不等式的证明、弧微分与曲率、有理函数的不定积分、积分限函数的求导、常系数齐次及非齐次线性微分方程等问题。
第二章多元函数部分补充（36学时）
教学目的与要求
本章是对先修课程多元函数相关教学内容的补充，要求：
1.理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
2.掌握二重积分的应用，理解三重积分的概念；掌握三重积分的计算(直角坐标、柱坐标、球坐标)
3.会用三重积分计算简单的物理量——质心、.转动惯量、引力
4.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
5.掌握计算两类曲线积分的方法。
6.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。
7.理解两类曲面积分概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。
8.理解高斯公式、斯托克斯公式，会用公式求一些几何量与物理量。
9.会用曲线积分及曲面积分，求一些几何量与物理量(弧长、质量、功、转动惯量及流量等）。
10.理解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在
上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会将定义在
上的函数展开为傅里叶级数。
教学重点与难点
教学重点：三重积分的应用；对弧长的曲线积分；格林公式及应用；傅里叶级数。
教学难点：三重积分的计算；对面积的曲面积分；斯托克斯公式。
教学手段及方式方法
讲授教学法：方向导数与梯度的概念；三重积分的概念；两类曲线积分的概念；两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；格林公式；全微分的原函数；两类曲面积分概念、性质及两类曲面积分的关系；高斯公式、斯托克斯公式；曲线积分及曲面积分；傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理。
案例分析教学法：用三重积分计算简单的物理量——质心、转动惯量、引力。
习题讲解式：二重积分的应用；三重积分的计算(直角坐标、柱坐标、球坐标)；计算两类曲线积分的方法；计算两类曲面积分的方法；利用曲线积分及曲面积分，求一些几何量与物理量(弧长、质量、功、转动惯量及流量等）；将定义在
上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会将定义在
上的函数展开为傅里叶级数。
教学手段：本门课以课堂讲授为主，课堂教学采用多媒体教学手段，并辅之以板书。
教学内容
第一节方向导数与梯度
1.方向导数
2.梯度
3.等值线
第二节条件极值及最值
第三节三重积分
1.三重积分的概念
2.三重积分的计算(直角坐标、柱坐标、球坐标)
第四节三重积分的应用
1.质心
2.转动惯量
3.引力
第五节对弧长的曲线积分
1.对弧长的曲线积分的概念与性质
2.对弧长的曲线积分的计算
第六节对坐标的曲线积分
1.对坐标的曲线积分的概念与性质
2.对坐标的曲线积分的曲线积分的计算
3.两类曲线积分的关系
第七节格林公式及其应用
1.格林公式
2.平面上曲线积分与路径无关的条件
3.二元函数的全微分求积
第八节对面积的曲面积分
1.对面积的曲面积分的概念与性质
2.对面积的曲面积分的计算
第九节对坐标的曲面积分
1.对坐标的曲面积分的概念与性质
2.对坐标的曲面积分的计算
3.两类曲面积分的关系
第十节高斯公式通量与散度
1.高斯公式
2.通量与散度
第十一节斯托克斯公式环流量与旋度
1.斯托克斯公式
2.环流量与旋度
第十二节傅里叶级数
1.三角级数与三角函数系的正交性
2.函数展开成傅里叶级数
第十三节正弦级数余弦级数
1.函数展开成正弦级数与余弦级数
第十四节一般周期函数的傅里叶级数
1.以2l为周期的傅里叶级数
2.傅里叶级数的复数形式
辅助教学环节（习题或作业等）
习题或作业：关于方向导数、梯度，三重积分的计算及应用，对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分，格林公式的应用，对面积的曲面积分，对坐标的曲面积分，高斯公式、通量和散度，斯托克斯公式、环流量与旋度，函数展成傅里叶级数、正余弦级数等问题。
[制定单位]基础教学部数学教研室
[制定人]高 谦
[审核人]王宪杰
[修订时间]2018/6/16
